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Question

(A) माना $I = \int \sqrt{1 + 2\cot x \csc x + 2\cot^2 x} \,dx$.चूँकि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$,इसलिए $1 + 2\cot^2 x = \csc^2 x + \cot^2 x$ होता है।अतः

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$2\log \left| \sin \frac{x}{2} \right| + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sqrt{1 + 2\cot x \csc x + 2\cot^2 x} \,dx$.चूँकि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$,इसलिए $1 + 2\cot^2 x = \csc^2 x + \cot^2 x$ होता है।अतः,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $\csc^2 x + \cot^2 x + 2\cot x \csc x = (\csc x + \cot x)^2$ होगा।चूँकि $0  0$ है,अतः $\sqrt{(\csc x + \cot x)^2} = \csc x + \cot x$ प्राप्त होता है।$I = \int (\csc x + \cot x) \,dx$.मानक समाकलन $\int \csc x \,dx = \log |\csc x - \cot x| + C$ और $\int \cot x \,dx = \log |\sin x| + C$ का उपयोग करने पर:$I = \log |\csc x - \cot x| + \log |\sin x| + C$.$I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C = \log |1 - \cos x| + C$.$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:$I = \log |2\sin^2 \frac{x}{2}| + C = \log 2 + 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$.स्थिरांक $C$ में $\log 2$ को समाहित करने पर,$I = 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$ प्राप्त होता है।

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए समाकलन $\int \sqrt{1 + 2\cot x(\csc x + \cot x)} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है):

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